Il 19 settembre 1994 Andrew Wiles pubblica la dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat.
L'ultimo Teorema di Fermat afferma che non esistono soluzioni intere positive all'equazione:
a^n + b^n = c^n
se n > 2 .
L'enunciato fu formulato da Pierre de Fermat nel 1637, il quale tuttavia non rese nota la dimostrazione che affermò di aver trovato. Scrisse in proposito, ai margini di una copia dell'Arithmetica di Diofanto sulla quale era solito formulare molte delle sue famose teorie:
"Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina".
Nei secoli successivi diversi matematici hanno tentato di fornire una dimostrazione alla congettura di Fermat, tra questi vi sono:
Eulero, che, nel XVIII secolo, formulò una dimostrazione valida solo per n=3,
Adrien-Marie Legendre, che risolse il caso n=5,
Sophie Germain, che, lavorando sul teorema, scoprì che esso era probabilmente vero per n uguale a un particolare numero primo p, tale che 2p + 1 è anch'esso primo: i primi di Sophie Germain.
Solo nel 1994, dopo 7 anni di dedizione completa al problema, e dopo un "falso allarme" nel 1993, Andrew Wiles, affascinato dal teorema che fin da bambino sognava di risolvere, riuscì a dare finalmente una dimostrazione. Da allora ci si può riferire all'ultimo teorema di Fermat come al teorema di Fermat - Wiles.
Wiles utilizzò tuttavia elementi di matematica e algebra moderna che Fermat non poteva conoscere: la dimostrazione che Fermat affermava di avere, se fosse stata corretta, era pertanto diversa. Quasi tutti i matematici sono dell'idea che Fermat si fosse sbagliato e non possedesse una dimostrazione corretta.
La soluzione di Wiles fu pubblicata nel 1995 e premiata il 27 giugno 1997 con il Premio Wolfskehl, consistente in una borsa di 50.000 dollari.
La storia della dimostrazione è notevole almeno quanto il mistero del teorema in sé.
Wiles impiegò sette anni per risolvere quasi tutti i particolari, da solo e in assoluta segretezza (tranne una fase finale di revisione, per la quale si avvalse dell'aiuto di un suo collega di Princeton, Nicholas Katz). Quando, nel corso di tre conferenze tenute all'università di Cambridge tra il 21-23 giugno 1993, Wiles annunciò la dimostrazione, stupì per il numero di idee e di costruzioni usate. Dopo un controllo più attento fu però scoperto un serio errore che sembrava condurre al ritiro definitivo della dimostrazione. Wiles e Taylor trascorsero circa un anno per rivedere la dimostrazione, e nel settembre 1994 pubblicarono la versione finale e corretta, utilizzando in maniera integrata alcune tecniche scartate nei primi tentativi.
Tuttavia, gli strumenti matematici utilizzati non erano conosciuti ai tempi di Fermat, quindi sussiste il mistero sulla dimostrazione che questi ne avrebbe fornito.
Ci sono seri dubbi riguardo alla rivendicazione di Fermat di aver trovato una dimostrazione veramente importante, che fosse corretta.
La dimostrazione di Wiles, di circa 200 pagine nella prima dimostrazione, ridotte a 130 nella versione definitiva, è considerata unanimemente al di là della comprensione della maggior parte dei matematici di oggi. Spesso le dimostrazioni iniziali della maggior parte dei risultati non sono tipicamente le più dirette ed è quindi possibile che, data la complessità, possa esistere una dimostrazione più sintetica ed elementare. Non è però verosimile che la dimostrazione di Wiles possa essere semplificata in maniera significativa, soprattutto fino a essere esprimibile con gli strumenti matematici posseduti da Fermat.
I metodi utilizzati da Wiles erano difatti sconosciuti quando Fermat scriveva e pare estremamente improbabile che Fermat sia riuscito a derivare tutta la matematica necessaria per dimostrare una soluzione. Andrew Wiles stesso ha affermato "è impossibile; questa è una dimostrazione del XX secolo".
Dunque, o esiste una dimostrazione più semplice che i matematici finora non hanno trovato, o Fermat semplicemente si sbagliò. Per questo sono particolarmente interessanti diverse dimostrazioni errate, ma in prima analisi plausibili, che erano alla portata di Fermat. La più nota si basa sul presupposto erroneo che l'unicità della scomposizione in fattori primi funzioni in tutti gli anelli degli elementi integrali dei campi sui numeri algebrici.
Questa è una spiegazione accettabile per molti esperti della teoria dei numeri, considerando anche che molti dei maggiori matematici successivi che hanno lavorato sul problema hanno seguito questo percorso e talvolta hanno anche sinceramente creduto di aver dimostrato il teorema, salvo successivamente dover ammettere di avere fallito.
Il fatto che Fermat non abbia pubblicato, né comunicato a qualche amico o collega, nemmeno un'enunciazione circa l'esistenza di una dimostrabilità (come invece faceva di solito per le sue soluzioni), può essere un forte indizio di un suo successivo ripensamento, dovuto a una tardiva scoperta di un errore nel suo tentativo di dimostrazione. Fermat, inoltre, pubblicò successivamente un suo lavoro di dimostrazione per il caso speciale n=4 (ovvero a^4 + b^4 = c^4). Se realmente avesse ancora ritenuto di possedere una dimostrazione completa per il teorema, non avrebbe pubblicato un tale lavoro parziale, indice che la ricerca non era per lui conclusa.
Lo stesso dicasi dei matematici che, dopo di lui, dimostrarono il teorema per dei numeri singoli. Si trattò senz'altro eventi notevoli ma di portata non risolutiva, dato che per definizione i numeri sono infiniti. Ciò che si richiedeva era un procedimento che permettesse la generalizzazione della dimostrazione.
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