#Almanaccoquotidiano, a cura di #MarioBattacchi

Buongiorno, oggi è il 19 settembre.
Il 19 settembre 1994 Andrew Wiles pubblica la dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat.
L'ultimo Teorema di Fermat afferma che non esistono soluzioni intere positive all'equazione:
    a^n + b^n = c^n
se n > 2 .
L'enunciato fu formulato da Pierre de Fermat nel 1637, il quale tuttavia non rese nota la dimostrazione che affermò di aver trovato. Scrisse in proposito, ai margini di una copia dell'Arithmetica di Diofanto sulla quale era solito formulare molte delle sue famose teorie:
    "Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina".
Nei secoli successivi diversi matematici hanno tentato di fornire una dimostrazione alla congettura di Fermat, tra questi vi sono:
    Eulero, che, nel XVIII secolo, formulò una dimostrazione valida solo per n=3,
    Adrien-Marie Legendre, che risolse il caso n=5,
    Sophie Germain, che, lavorando sul teorema, scoprì che esso era probabilmente vero per n uguale a un particolare numero primo p, tale che 2p + 1 è anch'esso primo: i primi di Sophie Germain.
Solo nel 1994, dopo 7 anni di dedizione completa al problema, e dopo un "falso allarme" nel 1993, Andrew Wiles, affascinato dal teorema che fin da bambino sognava di risolvere, riuscì a dare finalmente una dimostrazione. Da allora ci si può riferire all'ultimo teorema di Fermat come al teorema di Fermat - Wiles.
Wiles utilizzò tuttavia elementi di matematica e algebra moderna che Fermat non poteva conoscere: la dimostrazione che Fermat affermava di avere, se fosse stata corretta, era pertanto diversa. Quasi tutti i matematici sono dell'idea che Fermat si fosse sbagliato e non possedesse una dimostrazione corretta.
La soluzione di Wiles fu pubblicata nel 1995 e premiata il 27 giugno 1997 con il Premio Wolfskehl, consistente in una borsa di 50.000 dollari.
La storia della dimostrazione è notevole almeno quanto il mistero del teorema in sé.
Wiles impiegò sette anni per risolvere quasi tutti i particolari, da solo e in assoluta segretezza (tranne una fase finale di revisione, per la quale si avvalse dell'aiuto di un suo collega di Princeton, Nicholas Katz). Quando, nel corso di tre conferenze tenute all'università di Cambridge tra il 21-23 giugno 1993, Wiles annunciò la dimostrazione, stupì per il numero di idee e di costruzioni usate. Dopo un controllo più attento fu però scoperto un serio errore che sembrava condurre al ritiro definitivo della dimostrazione. Wiles e Taylor trascorsero circa un anno per rivedere la dimostrazione, e nel settembre 1994 pubblicarono la versione finale e corretta, utilizzando in maniera integrata alcune tecniche scartate nei primi tentativi.
Tuttavia, gli strumenti matematici utilizzati non erano conosciuti ai tempi di Fermat, quindi sussiste il mistero sulla dimostrazione che questi ne avrebbe fornito.
Ci sono seri dubbi riguardo alla rivendicazione di Fermat di aver trovato una dimostrazione veramente importante, che fosse corretta.
La dimostrazione di Wiles, di circa 200 pagine nella prima dimostrazione, ridotte a 130 nella versione definitiva, è considerata unanimemente al di là della comprensione della maggior parte dei matematici di oggi. Spesso le dimostrazioni iniziali della maggior parte dei risultati non sono tipicamente le più dirette ed è quindi possibile che, data la complessità, possa esistere una dimostrazione più sintetica ed elementare. Non è però verosimile che la dimostrazione di Wiles possa essere semplificata in maniera significativa, soprattutto fino a essere esprimibile con gli strumenti matematici posseduti da Fermat.
I metodi utilizzati da Wiles erano difatti sconosciuti quando Fermat scriveva e pare estremamente improbabile che Fermat sia riuscito a derivare tutta la matematica necessaria per dimostrare una soluzione. Andrew Wiles stesso ha affermato "è impossibile; questa è una dimostrazione del XX secolo".
Dunque, o esiste una dimostrazione più semplice che i matematici finora non hanno trovato, o Fermat semplicemente si sbagliò. Per questo sono particolarmente interessanti diverse dimostrazioni errate, ma in prima analisi plausibili, che erano alla portata di Fermat. La più nota si basa sul presupposto erroneo che l'unicità della scomposizione in fattori primi funzioni in tutti gli anelli degli elementi integrali dei campi sui numeri algebrici.
Questa è una spiegazione accettabile per molti esperti della teoria dei numeri, considerando anche che molti dei maggiori matematici successivi che hanno lavorato sul problema hanno seguito questo percorso e talvolta hanno anche sinceramente creduto di aver dimostrato il teorema, salvo successivamente dover ammettere di avere fallito.
Il fatto che Fermat non abbia pubblicato, né comunicato a qualche amico o collega, nemmeno un'enunciazione circa l'esistenza di una dimostrabilità (come invece faceva di solito per le sue soluzioni), può essere un forte indizio di un suo successivo ripensamento, dovuto a una tardiva scoperta di un errore nel suo tentativo di dimostrazione. Fermat, inoltre, pubblicò successivamente un suo lavoro di dimostrazione per il caso speciale n=4 (ovvero a^4 + b^4 = c^4). Se realmente avesse ancora ritenuto di possedere una dimostrazione completa per il teorema, non avrebbe pubblicato un tale lavoro parziale, indice che la ricerca non era per lui conclusa.
Lo stesso dicasi dei matematici che, dopo di lui, dimostrarono il teorema per dei numeri singoli. Si trattò senz'altro eventi notevoli ma di portata non risolutiva, dato che per definizione i numeri sono infiniti. Ciò che si richiedeva era un procedimento che permettesse la generalizzazione della dimostrazione.

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Buongiorno, oggi è l'11 novembre.
L'11 novembre 1675 Gottfried Leibniz per la prima volta utilizza il calcolo integrale, di sua invenzione, per trovare l'area delimitata dalla superficie individuata da una funzione y=f(x).
Gottfried Wilhelm von Leibniz nasce a Lipsia (Germania) il giorno 21 giugno 1646. Precoce talento dotato di una notevole intelligenza, a soli sei anni impara il latino leggendo Tito Livio e a quindici anni entra all'Università di Lipsia. Due anni dopo consegue la laurea in Filosofia; continua gli studi e passati altri tre anni consegue un dottorato in Legge.
Nel 1673 Leibniz presenta alla Royal Society di Londra la prima calcolatrice meccanica in grado di moltiplicare e dividere. L'innovazione principale rispetto alla precedente pascalina è costituita dall'introduzione del traspositore. Questa invenzione non avrà immediata applicazione per le difficoltà di realizzazione, ma frutta comunque al tedesco l'ammissione alla Royal Society. La sua calcolatrice verrà ripresa nel 1820 da Xavier Thomas de Colmar il quale darà vita alla base di quasi tutte le calcolatrici meccaniche a quattro operazioni che saranno successivamente realizzate.
Tra le grandi intuizioni di Leibniz vi è anche l'introduzione del sistema numerico binario; l'idea all'epoca era priva di applicazioni e bisognerà attendere l'800 perchè venga ripresa e sviluppata da George Boole.
Leibniz viene inoltre accreditato assieme ad Isaac Newton per l'invenzione, che risale al 1670 circa, del calcolo infinitesimale. A Leibniz si deve comunque il termine "funzione" (coniato nel 1694) che il tedesco usa per individuare una quantità la cui variazione è fornita da una curva e per individuare la pendenza di tale curva e un suo punto particolare. Contestualmente introduce diverse notazioni usate nel calcolo che rimarranno fino ai giorni nostri, ad esempio il segno dell'integrale che rappresenta una S allungata (dal latino summa) e la d usata per le derivate (dal latino differentia).
Pensando che i simboli fossero molto importanti per la comprensione delle cose, Leibniz cerca di sviluppare un "alfabeto del pensiero umano" (da lui chiamato mathesis universalis), nel quale cerca di rappresentare tutti i concetti fondamentali usando simboli; l'intenzione è quella di combinare questi simboli per rappresentare pensieri più complessi: non giungerà però alla conclusione di questo ambizioso programma.
Il contributo filosofico di Gottfried Leibniz alla metafisica è basato sulla Monadologia, che introduce le Monadi come "forme sostanziali dell'essere". Sono delle specie di atomi spirituali, eterne, non scomponibili, individuali, seguono delle leggi proprie, non interagiscono, ma ognuna di esse riflette l'intero universo in un'armonia prestabilita. Dio e l'uomo sono anche monade: le monadi differiscono tra loro per la diversa quantità di coscienza che ogni monade ha di sé e di Dio al suo interno.
Questo concetto di monade risolve il problema dell'interazione tra mente e materia che sorge nel sistema di Cartesio, così come l'individuazione all'apparenza problematica nel sistema di Baruch Spinoza, che rappresenta le creature individuali come semplici modificazioni accidentali di un'unica sostanza.
Secondo questo pensiero il mondo deve essere il migliore e più equilibrato dei mondi possibili, in quanto creato da un Dio perfetto. In questo modo si risolve a priori il problema del male, non a posteriori con un premio ultraterreno per i giusti, che Kant userà per argomentare l'immortalità dell'anima. Le idee non sono incompatibili.
A Leibniz si deve l'invenzione della matematica dei limiti ed il principio degli indiscernibili, utilizzato nelle scienze; secondo questo principio, due cose che appaiono uguali e fra le quali la ragione non trova differenze, sono uguali. Da questo principio deduce il principio di ragion sufficiente per il quale ogni cosa che è, ha una causa.
Il principio di ragion sufficiente, davanti ai mali del mondo, obbliga a trovare una giustificazione, senza negare l'esistenza; ciò a differenza della posizione di Sant'Agostino e di altri filosofi.
La sua frase "Viviamo nel migliore dei mondi possibili" viene guardata con divertimento dai suoi contemporanei, soprattutto Voltaire, che farà una parodia di Leibniz nella sua novella "Candide"; nel racconto Leibniz appare come un certo Dottor Pangloss: a partire da quest'opera il termine "panglossismo" si riferirà a persone che sostengono di vivere nel miglior mondo possibile.
La concezione di Leibniz è contrapposta alla tesi di Newton di un universo costituito da un moto casuale di particelle che interagiscono secondo la sola legge di gravità. Tale legge secondo Leibniz è insufficiente a spiegare l'ordine, la presenza di strutture organizzate e della vita nell'universo.
Leibniz è anche ritenuto la prima persona ad aver suggerito che il concetto di retroazione fosse utile per spiegare molti fenomeni in diversi campi di studio.
Sviluppa inoltre un'idea di sistema economico. Leibniz considera che la schiavitù non migliora la produttività: è invece uno spreco perché la vera ricchezza risiede nelle capacità dei cittadini di inventare. L'utopia anche se non può essere raggiunta, vale come limite a cui tendere.
Il suo scritto "La Società e l'Economia" nasce all'interno di una disputa con il filosofo liberista John Locke. Leibniz ritiene che uno Stato debba favorire la creazione d'invenzioni, di macchine e di manifatture, al fine di liberare l'uomo dal lavoro fisico più alienante e di dare alla società più pensatori e più capacità.
Nel saggio politico "Sulla legge naturale" afferma che la società perfetta è quella il cui obiettivo è la felicità suprema e generale. Dal suo enorme epistolario, risulta una sua influenza presso molte corti europee, fino alla Russia di Pietro il Grande del quale il tedesco diviene per un certo periodo consigliere personale. Nell'arco di anni di attività diplomatica Leibniz tesse nel mondo una fitta rete di amicizie con pensatori repubblicani, amicizie che rientravano anche nel programma politico che Benjamin Franklin e Alexander Hamilton avevano in mente per l'America.
Il pensiero economico di Leibniz muove una critica preventiva sia a Karl Marx che ad Adam Smith. Secondo Leibniz la ricchezza di una nazione non risiede né nelle ore di lavoro incorporate nei beni - e nella fatica necessaria a produrli - né nell'abbondanza di oro che corrisponde ad un attivo della bilancia commerciale (più esportazioni che importazioni). La ricchezza è per lui in primo luogo la capacità di una nazione di produrre beni. E il principale prodotto di una società sono le persone; la ricchezza consiste nella disponibilità di un capitale umano di conoscenza e di un'industria manifatturiera in grado di garantire un futuro alla crescita economica. Ogni repubblica secondo Leibniz avrebbe dovuto investire nell'istruzione e mantenere una propria industria manifatturiera. Da un certo punto di vista anche alle nazioni Leibniz applica la nozione di monade.
Gottfried Wilhelm von Leibniz muore ad Hannover il 14 novembre 1716.